(U2.04.07) Использование переходных методов разрешения для строго нелинейных квазистатических задач

Материал из ru.wiki.laduga.ru
Перейти к: навигация, поиск


Резюме:

Этот документ описывает использование переходных методов (неявный или явный) для цифрового моделирования квазистатического представления задач сильно нелинейных материалов.

Эти методы (на основе использования DYNA_NON_LINE) задуманы как альтернатива обычным квазистатическим подходам Code_Aster (на основе STAT_NON_LINE), когда они, оказываются неспособными сходиться за приемлемое время. Методы, которые рассматриваются в этом документе, имеют два типа:

  1. неявный переходный,
  2. явный псевдо-динамический.

Выбор будет зависеть от природы рассматриваемой проблемы, в частности, в условиях ограниченности времени.

Использование этих стратегий, являющихся более тонким, чем квазистатический подход, должно быть оставлено для самых проблематичных случаев. Общие рекомендации использования DYNA_NON_LINE остаются релевантными.

1 Введение

Многие проблемы механики требуют принятия во внимание, на уровне материала, разрушительных поведений: структуры из железобетона, моделей основ …

Поведенческая модель может представить известные неявные квазистатические методы разрешения проблем сходимости (оператор жесткости становится сингулярным). В определенных случаях даже обращение за помощью к очень мощным стратегиям, таким как смешанный линейный поиск или управление - недостаточно.

Чтобы быть в состоянии освободить себя от этих ограничений, существуют альтернативные стратегии, которые основываются на методах, вдохновленных инструментами прямого анализа переходных процессов [bib1].

Обычные динамичные методы должны, следовательно, быть приспособленными к этому фрейму и полученное таким образом решение должно будет проверить гипотезы достаточно медленной эволюции.

Наконец, желательно хорошо понимать, что эти переходные подходы, в силу своей специфики, должны использоваться как последнее прибежище, когда все варианты из STAT_NON_LINE оказывается неподходящими.

Само собой разумеется, хорошее знание STAT_NON_LINE и DYNA_NON_LINE также строго рекомендуется, как и прочтение соответствующей документации: R5.03.01, R5.05.05 и особенно U2.06.13.

В частности общие рекомендации использования оператора, DYNA_NON_LINE, данные в документации U2.06.13, остаются допустимыми и они, таким образом, составляют существенное предварительное условие к хорошей реализации методов, которые являются объектом этой документации.



2 Функциональные возможности, доступные в квазистатическом и отсутствующие в переходном подходе

Здесь, главным образом, рассматривается проблема неразрушимости модели в локальной версии.

Действительно (в версии 9) нелокальные подходы такие, как GRAD_VARI или GRAD_EPSI не доступны в динамике. Таким образом, будет верно обратить особенно внимание определению размера минимальной сетки, адаптированной, чтобы не наблюдать чрезмерные явления локализации.

Более того, линейные методы не подходят для динамики. Этот недостаток является относительным, зная, что попытки приложений этих методов на исследованиях железобетонных структур в динамике не дало существенный вклад на сходимости, в противоположность тому, что наблюдается в квазистатическом подходе. Давайте объявим, однако, что никакой теоретический параметр не запретил бы использование этих методов в динамике.

Наконец, методы управления, доступные в STAT_NON_LINE (длина дуги, например), запрещены в динамике, потому что они не имеют смысла.



3 Переход от квазистатического расчета к переходному расчету

Переход от квазистатического к переходному расчету должен сопровождаться некоторым необходимым количеством предосторожностей, во избежание сильного ухудшения качество полученного цифрового решения.

Эта адаптация, описанная подробно в документации U2.06.13, касается:

  • регуляризация во времени граничных условий,
  • определение начальных условий, которые не представляют числовые колебания.

В дополнении этих общих аспектов пользователь должен будет обратить внимание на другую более определенную адаптацию.

  • Определение плотности:
С физической точки зрения необходимо, очевидно, определить плотность в любой точке модели. Если модель подразумевает дискретные элементы, то к ним необходимо будет присоединить дискретные массы. Оператор суммарной массы должен быть обратимым. Уловки, иногда используемые в квазистатическом подходе с напряженностями на областях модели (опоры …) с материалами, имеющими очень большие модули Янга (или очень большую удельную жесткость), должны быть обработаны с предосторожностью. Кроме того, с явной временной схемой, эти очень жесткие области, вероятно, снизят значение критического шага по времени (R5.05.05).
  • Определение размера сетки и шага по времени:
Как предварительное условие к переходному вычислению, строго рекомендуется выполнить модальное вычисление (например, с MODE_ITER_SIMULT), чтобы получить модальную информацию, которая позволит квалифицировать качество модели в динамике и скорректировать определенные параметры.

Производится поиск низкочастотных решений, поэтому только первые режимы являются релевантным. Их хорошее представление может дать индикации относительно размеров сетки, которые будут использоваться помимо соображений, уже принятых во внимание в вычислениях, предшествовавших квазистатическим вычислениям. Достаточно 10 узлов сетки на наименьшую длину волны.

Наконец, модальный анализ необходим для использования модального затухания в DYNA_NON_LINE или чтобы исправлять Рэлеевское затухание.
  • Определение затухания:
Пользователь должен будет также поставить вопрос внутреннего затухания в модели, которую он хочет использовать. В DYNA_NON_LINE, кроме дискретных элементов, можно представить в общей сложности Рэлеевский тип или модальное затухание. Так как каждый стремится моделировать медленное развитие, можно попробовать, чтобы использовать значения затухания выше, чем для стандартных динамических вычислений. Компромисс, однако, может быть найден, в зависимости от конкретного случая, между недостаточно ослабленной проблемой (у которого будут колебания), и также ослабленная проблема (даже сверхкритическое критическое затухание).

Если затухания недостаточно, его увеличивают прогрессивно.

На различных приложениях [bib1], можно было отметить, что затухание Рэлеевского типа, приспособленного на эквивалентном модальном затухании приблизительно 20%, даже 30%, подходило.



4 Цифровое применение

Рекомендуется пользоваться следующей логикой:

  • возможности квазистатического метода с помощью STAT_NON_LINE (включая линейный поиск и управление
  • начать динамические расчеты с неявного метода, в случае отказа переходных неявных стратегий (включая, различные комбинации амортизаций, подобных Рэлеевской и схеме типа HHT [bib2] и [bib3]), следует склониться к явному методу.

Для каждого переходного подхода желательно запуститься с менее возможного затухания, поэтому, в частности с недиссипативных временных схем (как Ньюмарк [bib4]).

4.1 Дискретизация по времени

В отличие от квазистатического подхода у времени есть физический смысл.

Следует установить следующие правила:

  • изменение нагрузок должно быть градуировано достаточно тонко (между 5 - 10 шагами времени наиболее коротким периодом рассмотренных сигналов);
  • модальное поведение структуры должно быть хорошо представленым(так же, как и предыдущем пункте, между 5 и 10 шагами времени наиболее коротким периодом рассмотренных способов).

По сравнению с шагом предыдущих квазистатических вычислений, динамические такты могут быть скорее определенно более слабыми.

В явной схеме кроме того необходимо учитывать состояние потока, во избежание числовых различий. Для схем интегрирования с центральной разностью, критический шаг по времени от 2/w до w, которая является самой высокой собственной частотой системы.

Пульсацию можно вычислить с помощью MODE_ITER_SIMULT, выбирая опцию "PLUS_PETITE" и инвертируя роли матрицы масс и жесткости. Действительно модальные операторы Code_Aster непосредственно не предлагают опцию вычисления высокой частоты, которая имеет действительно ограниченное использование для текущих структурных анализов.

Для получения дополнительной информации пользователь будет в состоянии обратиться к документации U2.06.13.

4.2 Выбор схем интегрирования во времени

Можно классифицировать неявные схемы на две категории:

  • среднее ускорение (NEWMARK [bib4]) 2-го порядка, и который не требует численную вязкость использовать в первую очередь
  • полный метод HHT (MODI_EQUI = "OUI" [bib3]), который остается порядка 2, вопреки случаю измененного среднего ускорения (MODI_EQUI = "NOT", опция по умолчанию). Эта схема в частности разработана, чтобы представить числовую высокую частоту затухания и таким образом не нарушить физическую низкую частоту ответа. Затуханием непосредственно управляет ALPHA параметра схемы.

Если Вы наблюдаете высокие частоты колебаний в числовом решении, можно выбрать полную схему HHT, чтобы запуститься со значения около - 0.1 для ALPHA параметра. Значение - 0.3 составляет высокий предел, все еще применимый. Если Вы желаете большего количества затухания на средней частоте, то схема среднего измененного ускорения может использоваться.

В явной схеме есть два подхода:

  • использование центральных разностей(DIFF_CENT [bib4]), является недиссипативным,
  • Tchamwa-Wielgosz (TCHAMWA [bib6]), является диссипативным в сравнении с HHT.

Здесь все еще, рекомендуется использовать недиссипативной схемы.

4.3 Модели затухания

Порядок введения и использование рассеяния в дискретной модели - следующее:

  1. внутреннее рассеяние основе нелинейных моделей материала и связей
  2. общее рассеяние стандартного структурного затухания (Рэлеевского или модального),
  3. числовая вязкость временной схемы.

Идеально, первая категория должна быть достаточной, но практически, по причинам упрощения модели, часто важно добавить структурное затухание, затухание схемы, являющейся последним обращением за помощью.

Стоит напомнить, что чем больше собираемся увеличить источники затухания, тем сложнее будет их физическая интерпретация.

4.3.1 Затухание Рэлеевских схем

Эта модель позволяет определить общую матрицу затухания C, как линейной комбинации матриц жесткости и массы (чтобы иметь диагональную матрицу затухания на основе обычных динамических режимов):

       C = αK + βM

В U2.06.13 это представлено в деталях.

Коэффициенты затухания Рэлеевских схем определены параметрами AMOR_ALPHA и AMOR_BETA.

U2.04.07 4.3.1.png

Где f1 и f2 - эти две собственных частоты, ограничивающие интервал исследования, которое рассматривают. В рамках этого документа производится поиск низкочастотных решений, поэтому частоты f1 и f2 будут связаны с первыми частотами модели, режимы которой когерентные с наложенной загрузкой .

4.3.2 Затухание из-за временной схемы [bib2]

В R05.05.05 и U2.06.13 описывается этот аспект.

Чтобы подвести итог, можно вспомнить, что среди неявных схем:

  • схема среднего ускорения не рассеивается,
  • только полная схема HHT не нарушает полевую низкую частоту,
  • для того же значения ALPHA параметра измененное среднее ускорение представляло намного больше рассеяния, чем схема HHT.

4.4 Адаптация явных методов

Условная стабильность явных схем делает их очень слабо приспособленными к моделированию медленных явлений. Явные методы разрешения не используются здесь, чтобы собрать быстрые явления такие, как волновое распространение, но их использование должно быть воспринято как определенный решатель, который каждый адаптирует к медленным процессам.

Чтобы быть в состоянии увеличить критический шаг по времени[bib2], можно увеличить плотность структуры (что вызывает понижение скорости волн пропорционально к ее квадратному корню):

U2.04.07 4.4.png

Это необходимо делать постепенно.

Действительно, существуют два риска:

  • если шаг станет слишком большим, то вычисленное решение может пропустить определенные явления как появление лент ножниц и пойти от разветвления к ответвлению, очень отличающемуся от ожидаемого ответа,
  • увеличение плотности может быть ограничено плохим состоянием матрицы масс.

Как индикация, максимальный шаг в явной схеме (и таким образом максимальная плотность) может иметь тот же порядок величины как шаг, необходимый для неявного переходного вычисления, в любом случае, он должно остаться ниже, чем квазистатический шаг.

Если у модели есть сильные неоднородности жесткости (определение нескольких материалов), может быть необходимым изменение плотности отдельно, чтобы иметь относительно гомогенное условие Потока между областями, имеющими различные материалы.

Примечание:

Если ставятся условия в границах в смещении, которые изменяются в течение времени, надо принять в расчет, то, что эти условия фактически навязаны в ускорении в явной схеме (так как это единственное неизвестное). Это означает, что должны ввести в DYNA_NON_LINE вторую производную сигнала по перемещению, которое хотим навязать. Эта эволюция навязанного перемещения должна быть дважды дифференцируема по времени.
Рекомендуется использовать диагональную матрицу масс (смешанную), которая получена применением ключевого слова MASS_DIAG = "OUI" DYNA_NON_LINE.



5 Проверка качества решений

5.1 Оценка целесообразности квазистатического подхода

Можно провести следующую классификацию:

  1. типовые эволюции силы/перемещения: значения, позволяющие интерпретировать общий ответ системы
  2. идентичность полей, подобных повреждению ил накопленной пластической деформации

5.2 Динамичные дополнительные величины, которые необходимо анализировать

Помимо этих анализов, для динамичных расчетов, необходимо проверить, что гипотеза медленной эволюции соблюдена. Для этого, надо убедиться, чтобы силы инертности остались слабыми перед другими усилиями в системе (внешние и внутренние усилия). Простое средство чтобы иметь оценку эволюции сил инертности в течение расчета состоит в том, чтобы наблюдать поле ускорения в течение времени.

Первый простой критерий может основаться на (бесконечной) норме ускорения в каждый момент. В случае значительного и длительного увеличения ускорения (например, за 1 м/с на нескольких шагах следующего времени), это означает, что появятся динамические явления (следовательно, не учтено квазистатическим решением)

  • если вы имеет дело с реальной плотностью, то вычисленное решение, таким образом, подвергнуто значительным динамическим явлениям;
  • если Вы находитесь в явном фрейме, где суммарная плотность увеличена, чтобы увеличить критический такт, то отмеченные эффекты инерции - знак, что метод разрешения не адаптирован. Тогда обязательно изменить параметры такие, как понижение плотности, изменяя затухание …

В первом случае можно попытаться запустить снова вычисление с немного более приемлемым Релеевским затуханием, немного больше повышенных, даже со стандартной схемой HHT. Если, даже со всеми этими поправками, решение все еще представляет эффекты инерции, то любой квазистатический подход неподходящий.

5.3 Примеры анализа

На графика ниже (железобетон маленькая структура), представлен случай, когда ускорение станет значительным на 6 с., максимальное значение остается ниже, чем 0.4 м/с^2, и мы находимся в случае с реальной плотностью. Кроме того ускорение станет снова слабым после 10 секунды: отсюда можно сделать вывод, что вычисление остается совместимым с предположением медленного развития.

U2.04.07 5.3 1.png


На следующем графике, можем определить влияние затухания (вызванного рассеянием Реле и схемой) на максимальное ускорение. В целом, на этом примере, использование типовой схемы HHT с Релеевским рассеиванием, установленном в модальное значение, равняются 20 %, хорошо приспособлена (черная кривая). Взамен, схема среднего ускорения (Newmark) позволит контролировать ускорение только, если её соединить с очень значительным Релеевским рассеиванием: 50 % модального рассеивания. Полученное решение рискует тогда быть чересчур диссипативным

U2.04.07 5.3 2.png


На следующем графики можно видеть влияние параметра дискретизации: шага по времени с точки зрения контроля максимального ускорения. Значение 10^(-3) для шага по времени выбрано не достаточно хорошо, следовательно, необходимо разделить этот шаг пополам. Чтобы анализировать это поведение необходимо вести параметрическое изучение шага по времени.

U2.04.07 5.3 3.png


В случае явной схемы сравниваются разные временные схемы: центральная разность и схема Tchamwa для двух значений параметра PHI. Чем больше этот параметр, тем более высокая частота затухания вводится и это затухание, становится нулем для PHI=1.

U2.04.07 5.3 4.png


В дополнение, полезно отобразить на экране ускорения:

U2.04.07 5.3 5.png

На левое картинке изображено состояние в слабой фазе ускорения. Форма поля ускорения довольно случайна: нельзя чувствовать "причину", предавая реальное динамическое явление.

На правом рисунке установлена нелинейность, и наблюдается распределение совсем другого ускорения: видно формирование формы лент ножниц на окружности.

Но даже в этом случае, максимальные значения ускорения остаются очень низкими (включая, принимая во внимание фактор увеличения плотности). Решение, полученное явно, таким образом, является релевантным в случае медленного развития.



6 Оптимизация показателей

Для оптимизации производительности в большей части ситуаций, рекомендуется выполнить вычисление в квазистатический форме, когда нелинейность уменьшается, затем, как только количество итерации значительно увеличивается, следует использовать динамический подход. Более точно, советуем, переключиться перед появлением сильной нелинейности так, чтобы динамического вычисления, инициированного при "постоянном" изменении все еще было достаточно.

В квазистатическом подходе не редко необходимо выполнить больше чем 10 итераций, чтобы иметь сходимость. В неявной динамике это значение 10 итераций составляет, в целом, хорошее начальное значение для параметра ITER_GLOB_MAXI CONVERGENCE. Если нет сходимости меньше чем в 10 - 20 итерациях, тогда предпочтительно уменьшить шаг, а не увеличить максимальное количество итераций.

В явной схеме нет никаких итераций для равновесия, стоимость вычисления каждого такта будет, таким образом, постоянной, безотносительно уровня нелинейности (кроме, возможно, локальной проверки поведения). В случае квазистатического вычисления, где нелинейность растет со временем, можно таким образом найти точку пересечения на уровне процессорного времени, для которого эффективность явных методов (даже неявных согласно случаям) становится больше, чем продолжение в квазистатических подходах.

Выгода, полученная шагом большим шагом по времени в квазистатической схеме, аннулирована необходимостью делать все больше итерации в каждом шаге. Таким же образом, стоимость вычисления в явном методе постоянна, можем оценить также довольно точно время общего расчета, необходимое для разрешения полного случая, тогда как в квазистатическом подходе, количество итераций в каждом проходе переменно и также может включить неизвестное количество деления шага, общее процессорное время иногда очень трудно предсказать.

Использование явных схем, кажется, очень соблазнительным на виду использования CPU. С другой стороны, мы лишаемся страховочной меры, которой является точная проверка равновесия и что, следовательно, качество полученного ясного решения должно быть проанализировано с большими предосторожностями. Явный алгоритм не разойдется, но полученное решение не гарантировано удовлетворит критериям проверки равновесия. В особенности параметрическое изучение о шаге времени необходимо, так как ход решения может сильно меняться, когда этот шаг становится слишком большим.



7 Заключение

Этот документ представляет использование переходных динамичных методов для моделирования сильно нелинейных и медленных эволюций [bib1].

Эти динамические методы должны использоваться как последнее прибежище, потому что их регулирование более тонкое, чем в квазистатическом подходе. Это еще более относится к явным методам, так как качество решения не гарантируется точной проверкой равновесия в каждый момент.

Первая стадия - адаптация модели с динамическими методами. Это - главным образом, вопрос проверки хорошей регулярности наложенных условий и корректного определения плотности и общего (Рэлеевского) рассеивания. Нелокальные методы, подходы и линейный поиск не применимы в динамике. Кроме того необходимо представить модель общего затухания (Рэлеевский или модальный), чей уровень более силен, чем в стандартной динамике (обычно 20% эквивалентного модального затухания).

Затем рекомендуется начать использование неявного переходного метода (DYNA_NON_LINE с временной схемой типа NEWMARK или HHT). С точки зрения тонкой настройки процессорного времени рекомендуется выполнить все фазы в квазистатическом подходе.

В случае отказа полной схемы HHT пользователь может использовать явную схему. Необходимо также увеличить плотность, чтобы получить достаточно большой критический такт и изменение затухания.

Во всех случаях, необходимо проанализировать эволюцию ускорения в течение времени, для того, чтобы убедиться в годности гипотезы медленной эволюции. Результаты инертности должны остаться слабыми.



8 Литература

[bib1] N. Greffet, Evaluation of the transitory methods for computations of excavation , Note EDF R & D H-T62-2007-02878-FR, 2008.

[bib2] N. Greffet, Vers of new numerical methods for temporal integration in Code_Aster. Note EDF R & D HT-62/04/016/A, 2004.

[bib3] H.M. Hilber, T.J.R. Hughes & R.M. Taylor, Improved numerical dissipation for time integration algorithms in structural dynamics , Earthquake Eng. Struct. Dyn. , Vol. 5,283-292, 1977.

[bib4] M.N. Newmark, A Method of Computation for Structural Dynamics , Proc. ASCE 85, EM3, 1959.

[bib5] R. Courant, K. Friedrichs & H. Lewy, Über die partiellen Differenzengleichungen DER mathematischen Physik, Mathematische Annalen , Vol. 100, No. 1,32-74, 1928.

[bib6] B. Tchamwa, C. Wielgosz, Une news method clarify precise direct integration and with controllable numerical dissipation , Actes of 13th French Congrиs of Mechanics, VOL 1, Poitiers, pp 251-254, September 1997.